TRIÁNGULO DE PASCAL

El triángulo de Pascal

Una de las pautas de números más interesantes el es triángulo de Pascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famoso matemático y filósofo francés). Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, y pon números debajo formando un triángulo. Cada número es la suma de los dos números que tiene encima, menos los extremos, que son siempre "1". (Aquí está remarcado que 1+3 = 4)

Pautas en el triángulo

	Diagonales La primera diagonal es, claro, sólo "unos", y la siguiente son todos los númerosconsecutivamente (1,2,3, etc.) La tercera diagonal son los números triangulares (La cuarta diagonal, que no hemos remarcado, son los números tetraédricos.)
Pares e impares Si usas distintos colores para los números pares e impares, obtienes un patrón igual al del Triángulo de Sierpinski
	Sumas horizontales ¿Notas algo en las sumas horizontales? ¿Hay algún patrón? ¡Es increíble! Se dobla cada vez (son las potencias de 2).
Sucesión de Fibonacci Prueba esto: empieza con un 1 de la izquierda, da un paso arriba y uno al lado, suma los cuadrados donde caigas (como en el dibujo)... las sumas que salen son la sucesión de Fibonacci. (La sucesión de Fibonacci se hace sumando dos números para conseguir el siguiente, por ejemplo 3+5=8, después 5+8=13, etc.)
Simetría El triángulo es simétrico, esto quiere decir que se ve igual desde la derecha que desde la izquierda

Usar el triángulo de Pascal

Caras y cruces

El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y cruces de pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.

Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), también tres de sacar una cara y dos cruces (CXX, XCX, CXX) y sólo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.

Tiradas	Resultados posibles (agrupados)	Triángulo de Pascal
1	H T	1, 1
2	HH HT TH TT	1, 2, 1
3	HHH HHT, HTH, THH HTT, THT, TTH TTT	1, 3, 3, 1
4	HHHH HHHT, HHTH, HTHH, THHH HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH HTTT, THTT, TTHT, TTTH TTTT	1, 4, 6, 4, 1
	... etc ...

¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas? Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 4×4=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 6/16, o 37.5%

Combinaciones

El triángulo también muestra cuántas combinaciones de objetos son posibles.

Por ejemplo, si tienes 16 bolas de billar, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres de ellas (sin hacer diferencia del orden en que las eliges)?

Respuesta: baja a la fila 16 (la primera es la fila 0), y mira 3 lugares a la derecha, allí está la respuesta, 560. Aquí tienes un trozo del triángulo en la fila 16:

1    14    91    364  ...
1    15    105   455   1365  ...
1    16   120   560   1820  4368  ...

Polinomios

El triángulo de Pascal también te da los coeficientes en la expansión de un binomio:

Potencia	Expansión polinomial	Triángulo de Pascal
2	(x + 1)2 = 1x2 + 2x + 1	1, 2, 1
3	(x + 1)3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 1	1, 3, 3, 1
4	(x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1	1, 4, 6, 4, 1
	... etc ...

BINOMIO A LA n POTENCIA

¿COMO DESARROLAR UN BINOMIO A LA "N" POTENCIA?

TEMA: Desarrollo general de un binomio elevado a la "n" potencia mediante el uso del triangulo de Pascal.

Uno de los temas que mas se le complica a los jóvenes en el área de las matemáticas  es el desarrollo de los binomios a alguna potencia, la causa de esta complicación es que las instrucciones siempre fueron memorísticas, casi casi como canción, como en el caso de un binomio al cuadrado, cuya formula sería la siguiente:

 (a+b)2

 (a2+2ab+b2)

Aunque parece muy difícil, no lo es si seguimos alguna sencillas reglas, así que, pongamos atención a las siguientes instrucciones con las cuales resolveremos un binomio a la 3 potencia

  (a+b)3

 Paso No. 1: El desarrollo tendrá (n+1) elementos, esto es, uno mas del exponente, si esta elevado a la 2 tendrá 3 elementos (2+1), en este caso, nuestra ecuación esta elevada a la "3", por lo que tendrá 4 elementos (3+1) así, el primer paso quedaría de la siguiente manera.

 Paso No. 2: Como segundo paso, colocamos la primera y la segunda variable en todos y cada uno de los espacios, como podemos ver en el siguiente ejemplo.

 

Paso No. 3: Empezamos por colocar los exponentes primero a la primer variable empezando del exponente máximo en este caso "3" reduciendo uno en cada espacio hasta llegar al último en "0".

 

Paso No. 4: Ahora empezamos con la segunda variable del binomio, colocando los exponente de manera inversa empezando ahora de menor a mayor, en este caso empezando de "0" y sumando uno en cada espacio hasta llegar hasta "3" en el último lugar.

 Paso No. 5: Ahora, utilizando el triángulo de Pascal, colocamos en cada espacio el numero que corresponda al renglón del triángulo con el que se relaciona, en esta caso, como el exponente es "3", utilizamos los número del renglón "3".

 Paso No. 5: Quedando de la siguiente manera

 

Paso No. 6: Por último se eliminan los valores que tengan "0" y "1" en el exponente y en el coeficiente, quedando de la siguiente manera.

De esta manera hemos desarrollado un binomio a la "3" potencia y hemos aprendido como hacerlo para cualquier exponente "n".

PRODUCTOS NOTABLES

 Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son :

Binomio de Suma al Cuadrado:El Cuadrado del primer Termino, más el Doble Producto del Primer por el segundo Termino, más el Cuadrado del Segundo Término. 
( a + b )² = a² + 2ab + b²

Binomio Diferencia al Cuadrado:El Cuadrado del primer Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término.
( a - b )² = a² - 2ab + b²

Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término.
( a + b ) ( a - b ) = a² - b²

Producto de dos binomios que tienen un término común: El cuadrado del termino común, mas el producto de termino comun por la suma de los terminos no comúnes, mas el producto de los términos no comunes.
( x + a)(x + b) = x² + ( a + b) x + ab

Binomio Suma al Cubo: El Cubo del Primer Término, más el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, más el cubo del segundo Término.
( a + b )³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³ = a³ + b³ + 3 ab (a + b)

Binomio Diferencia al Cubo  El Cubo del Primer Término, menos el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, menos el cubo del segundo Término.
( a - b )³ = a³ - 3 a²b + 3 ab² - b³
Suma de dos Cubos: Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la suma de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, menos el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
a³ + b³ = ( a + b ) ( a² – ab + b²)

Diferencia de Cubos Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la diferencia de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
a³ - b³ = ( a - b ) ( a² + ab + b²)

Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio: El cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer termino, mas el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del segundo por el tercero, más el doble producto del tercero por el primero.
( a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = a² + b² + c² + 2 ( ab + bc + ac)

Trinomio Suma al Cubo
( a + b + c)³ = a³ + b³ + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

Identidades de Legendre
( a + b)² + ( a – b)² = 2 a² 2b² = 2(a² + b²)
( a + b)² + ( a – b)² = 4 ab

MULTIPLICACION Y DIVISION DE LOS RADICALES

Multiplicacion y División con Radicales 
En la multiplicación y en la división con números radicales se aplica las mísmas propiedades pero en sentido contrario




En los ejemplos anteriores multiplicamos raices con el mísmo índice del radical ahora, multiplicaremos raíces con distinto índice del radical

Multiplicando radicales con distinto índice

ADICION Y SUSTRACION DE LOS RADICALES

Dos o más radicales son semejantes, cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando. La suma algebraica de radicales consiste en sumar o restar todos los radicales semejantes en un solo término.

Mira tres ejemplos:

POTENCIAS Y RADICALES

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe aⁿ y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero o cero.

La radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que , donde n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre. La notación a seguir tiene varias formas:

.

Para todo n natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia:

.

LEY DE LOS EXPONENTES Y RADICALES

LAS LEYES DE EXPONENTES SON:

1. LEY DE LA MULTIPLICACION: al multiplicar dos potencias de igual base se copia la base y se suman los exponentes, para tener el exponente del producto.



2. LEY DE LA DIVISION: al dividir dos potencias de igual base, se copia la base y al exponente del dividendo se le resta el exponente del divisor, dando el exponente del cociente.



Estas son dos consecuencias importantes de la ley de la división:

• PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES NEGATIVOS: toda cantidad con un exponente negativo es un número racional, que representa el inverso multiplicativo de un número entero.


• PROPIEDAD DEL EXPONENTE 0: al dividir dos cantidades exactamente iguales que tengan idéntico exponente, obtendremos una expresión con exponente cero, que también será equivalente a la unidad.


3. LEY DE LA INVOLUCION, O ELEVAR A UNA POTENCIA: al elevar una potencia a un exponente, se copia la base y se multiplican los exponentes.



4. LEY DE LA EVOLUCION, O DE LA EXTRACCION DE RAICES: al extraer la raíz de una potencia, se copia la base de la cantidad subradical, y al exponente de este subradical se le divide el índice de la raíz.



• Esta es una consecuencia natural de la ley de extracción de raíces: una expresión radical cualquiera puede transformarse en una expresión en notación exponencial.

Leyes de Radicales

La radicación es la operación inversa de la potenciación,en algunas ocasiones es más ventajoso expresar las cantidades en términos de radicales que en términos de exponentes racionales. Las leyes de los radicales se siguen inmediatamente de las leyes de losexponentes.

Ejemplos de la ley de Radicales.

* ⁿ√(xª) = xª/ⁿ

* ⁿ√ab = ⁿ√a ⁿ√b

* ª√ⁿ√b = ªⁿ√b

• - La radicación no es distributiva con respecto a la suma y a la resta

√(a² + b²) ≠ √a² + √b²

• - La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división

√(a² * b²) = √a² * √b²

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

División de polinomios entre monomios.

Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.

Pasos:

• Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.

• Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio.

• Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior.

• Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplos:

División entre polinomios.

En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir son los siguientes.

• Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan.

• El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.

• Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.

• El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.

• Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

• Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.

Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.

La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que se encuentra mas a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Ley de los signos

Suma

1. Si los números tienen el mismo signo se suman se deja el mismo signo.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si números tienen distinto signo, se restan y al resultado se le coloca el signo del número con mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

Multiplicación y división

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = − 10

(−2) · 5 = − 10

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = − 2

(−10) : 5 = − 2

Potencias

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2⁶ = 64

(−2)⁶ = 64

2. Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base.

2³ = 8

(−2)³ = −8

MULTIPLICACION DE BINOMIOSY POLINOMIOS

Multiplicación de Monomios, Binomios y Polinomios

Monomio por Monomio
Monomio por Polinomio
Polinomio por Polinomio
Monomio por Monomio:
Es la multiplicación de dos o más monomios se aplican las reglas de los signos y las leyes de los exponentes
1.-Determinar el signo del producto o de la multiplicación.
2.-Multiplicar los coeficientes numéricos.
3.-Multiplicar la parte literal aplicando las leyes de los exponentes.

Multiplicación de Monomio por un Polinomio:Para realizar esta operación se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación. 

Multiplicación de Polinomio por Polinomio:Aplicamos la ley distributiva de la multiplicación.

Productos de Binomios
Los productos de algunos polinomios siguen un patrón fijo en cuanto al resultado de modo que puede obtenerse sin efectuar la multiplicación. 

RESTA DE POLINOMIOS

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x - 3) − (2x³ - 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x - 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x - 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x - 3

También podemos restar polinomios escribiendo el opuesto de uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x⁴ + 4x² + 7x + 2        Q(x) = 6x³ + 8x +3

TRUCOS ALGEBRAICOS, MONEDAS LATINOAMERICANAS

Piensa en el número de veces a la semana que te gustaria salir a cenar fuera.

Multiplícalo por 2 y súmale 5

Multiplícalo por 50

Dependiendo de tu fecha de cumpleaños:
- Si ya pasó tu fecha de cumpleaños sumale 1755
- Si aún no ha pasado suma 1754

Réstale el año de tu nacimiento incluyendo las 4 cifras.

Obtuviste un número de 3 cifras:
- La primera es el número de veces que pensaste al principio
- La segunda ¡es tu edad!

Precios de venta en el día de hoy de las monedas de América Latina con relación al dólar estadounidense y su variación con respecto a la jornada anterior:

Países                      Moneda                            Precios                       Variación

ARGENTINA               Peso                                  3,06                          ( 0,00%)

BOLIVIA                     Boliviano                           7,11                                (+0,42%)

BRASIL                     Real                                    1,574                               (-0,70%)

COLOMBIA              Peso                                 1.772,49                              (-0,04%)

COSTA RICA          Colón                                  556,86                            ( 0,00%)

CUBA                         Peso/CUC                            1,22                           (controlado)

CHILE                        Peso                                     511,80                             (-0,09%)

EL SALVADOR            Colón                                 8,75                                     ( 0,00%)

GUATEMALA               Quetzal                                7,41                                      (+0,26%)

HONDURAS                 Lempira                             19,02                                 ( 0,00%)

MÉXICO                      Nuevo Peso                           9,91                                    (-0,30%)

NICARAGUA                    Córdoba                      19,45                                       ( 0,00%)

PARAGUAY                     Guaraní                                3.990                                    (+0,25%)

PERÚ                              Nuevo Sol                           2,800                                   (+1,06%)

R.DOMINICANA                       Peso                         34,65                                    (-0,17%)

URUGUAY                             Peso                              19,40                               ( 0,00%)

VENEZUELA                        Bolívar fuerte                       2,15                         (controlado)

(La moneda de Ecuador y Panamá es el dólar estadounidense).